1991 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 8 分

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为

p_{1}

和

p_{2}

，销售量分别为

q_{1}

和

q_{2}

；需求函数分别为

q_{1} = 24 - 0.2 p_{1}

和

q_{2} = 10 - 0.05 p_{2}

，总成本函数为

C = 35 + 40 (q_{1} + q_{2})

。试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

提示 1

写利润

L = R - C

，

R = p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2}

，

C = 35 + 40 (q_{1} + q_{2})

，代入需求函数换回

p_{i}

。

提示 2

整理

L = 32 p_{1} - 0.2 p_{1}^{2} + 12 p_{2} - 0.05 p_{2}^{2} - 1395

。

提示 3

令两个偏导为 0 解

p_{1} = 80, p_{2} = 120

，回代得

L_{m a x} = 605

。

答案与详解

答案当 $p_{1} = 80, p_{2} = 120$ 时总利润最大，最大总利润 $L_{m a x} = 605$

思路（为什么这么做）

「多市场定价求最大利润」→ 把利润写成售价的二元函数，令

\partial L / \partial p_{i} = 0

解驻点。坑：成本里的

q_{i}

要用需求函数换回

p_{i}

；本题两变量可分离，各解一个价。

解答

本题考查二元函数无条件极值（经济应用：最大利润）。 以售价

p_{1}, p_{2}

为自变量写出利润函数。

收入

R = p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2} = 24 p_{1} - 0.2 p_{1}^{2} + 10 p_{2} - 0.05 p_{2}^{2}

；利润

L = R - C = 32 p_{1} - 0.2 p_{1}^{2} + 12 p_{2} - 0.05 p_{2}^{2} - 1395

。

令

\frac{\partial L}{\partial p _{1}} = 32 - 0.4 p_{1} = 0, \frac{\partial L}{\partial p _{2}} = 12 - 0.1 p_{2} = 0

，解得

p_{1} = 80, p_{2} = 120

。

驻点唯一且

L

为开口向下的二次型，故取最大值

L_{m a x} = 32 \cdot 80 - 0.2 \cdot 8 0^{2} + 12 \cdot 120 - 0.05 \cdot 12 0^{2} - 1395 = 605

。

1991 年考研数学（三） 第 15 题