1991 年考研数学（三） 第 14 题

「曲线把区域二等分求参数」→ 令「被分出的一块 = 总面积一半」列方程。坑：先求交点上限 $1/\sqrt{a+1}$，$S_1=\frac{2}{3\sqrt{a+1}}$，解得 $a=3$。

本题考查定积分的几何应用（面积）+ 求参数。 先求 $L_1$ 与两坐标轴围成的总面积，再令 $L_2$ 上方部分为其一半。

总面积 $S={\int }_0^1(1-x^2)\mathrm{d}x=\frac{2}{3}$。$L_1,L_2$ 交点：$1-x^2=a{x}^2\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{a+1}}$。

$L_2$ 上方（介于 $L_1,L_2$ 之间）的面积 $S_1={\int }_0^{1/\sqrt{a+1}}(1-x^2-a{x}^2)\mathrm{d}x=\frac{2}{3\sqrt{a+1}}$。

由 $2S_1=S$：$\frac{4}{3\sqrt{a+1}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{a+1}=2\Rightarrow a=3$。