1991 年考研数学（三） 第 13 题

$xy{y}^{\prime }=x^2+y^2$ 每项除 $xy$ → 齐次方程，令 $u=y/x$ 分离变量。坑：也可令 $y^2=u$ 化一阶线性；结果 $y^2=2x^2(\ln x+1)$。

本题考查一阶齐次微分方程。 变形 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，右端只含 $y/x$，是齐次型。

令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux,y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，代入得 $u+x{u}^{\prime }=\frac{1}{u}+u$，即 $x{u}^{\prime }=\frac{1}{u}$，分离变量 $u\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$。

积分 $\frac{u^2}{2}=\ln x+C_1$，即 $u^2=\ln x^2+C$，亦即 $\frac{y^2}{x^2}=\ln x^2+C$。代入 $y(\mathrm{e})=2\mathrm{e}$：$4=2+C\Rightarrow C=2$。

故特解 $y^2=x^2\ln x^2+2x^2=2x^2(\ln x+1)$。