1991 年考研数学（三） 第 12 题

曲边区域二重积分 → 先对 $y$ 积到曲线边界，再对 $x$ 换元 $t=\sqrt{x/a}$ 化掉根式。坑：$\int (t-1{)}^{4}t\mathrm{d}t$ 把 $t=(t-1)+1$ 拆开积。

本题考查二重积分（直角坐标 + 换元）。 由曲线解出上边界 $y=b{\left(1-\sqrt{x/a}\right)}^2$，$x\in [0,a]$。

$I={\int }_0^a\mathrm{d}x{\int }_0^{b(1-\sqrt{x/a}{)}^2}y\mathrm{d}y=\frac{b^2}{2}{\int }_0^a{\left(1-\sqrt{x/a}\right)}^4\mathrm{d}x$。

令 $t=\sqrt{x/a}$（$x=a{t}^2,\mathrm{d}x=2at\mathrm{d}t$）：$I=a{b}^2{\int }_0^1(t-1{)}^{4}t\mathrm{d}t=a{b}^2\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=\frac{a{b}^2}{30}$。