乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1991 年

1991 年考研数学（三）第 11 题

解答题 · 5 分

求极限

x \to 0 lim (\frac{e ^{x} + e ^{2 x} + \dots + e ^{n x}}{n})^{\frac{1}{x}}

，其中

n

是给定的自然数.

提示 1

底

\to 1

、指数

\to \infty

，是

1^{\infty}

，用

e^{l i m \frac{1}{x} (底 - 1)}

。

提示 2

底

- 1 = \frac{1}{n} \sum (e^{k x} - 1)

，用

e^{k x} - 1 \sim k x

。

提示 3

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，除以

n

得

\frac{n + 1}{2}

。

答案与详解

答案 $e^{\frac{n + 1}{2}}$

思路（为什么这么做）

1^{\infty}

型 →

lim f^{g} = e^{l i m g (f - 1)}

；本题

e^{k x} - 1 \sim k x

后求和

\frac{1}{n} \sum k = \frac{n + 1}{2}

。坑：等价无穷小逐项用，别漏因子

\frac{1}{n}

。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型极限。 底

\to 1

、指数

\to \infty

，用

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

指数部分

\frac{1}{x} (\frac{e ^{x} + e ^{2 x} + \dots + e ^{n x}}{n} - 1) = \frac{1}{n x} \sum_{k = 1}^{n} (e^{k x} - 1)

。

当

x \to 0

，

e^{k x} - 1 \sim k x

，故上式

\to \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2}

。

所以原极限

= e^{\frac{n + 1}{2}}

。

考点：极限的计算方法综合、两个重要极限

← 1991 年全部题目