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1991 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 3 分

对任意两个随机变量

X

和

Y

，若

E (X Y) = E (X) \cdot E (Y)

，则（　　）.

A $D (X Y) = D (X) \cdot D (Y)$
B $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$
C $X$ 和 $Y$ 独立
D $X$ 和 $Y$ 不独立

提示 1

E (X Y) = E (X) E (Y)

等价于

Cov (X, Y) = 0

。

提示 2

用

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y)

。

提示 3

Cov

= 0

只说明不相关，推不出独立，排除 C、D。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

见

E (X Y) = E (X) E (Y)

→ 即

Cov = 0

（不相关），直接得

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

。坑：不相关

\neq =

独立，且

D (X Y) \neq = D (X) D (Y)

。

解答

本题考查协方差与方差的可加性。

E (X Y) = E (X) E (Y) ⟺ Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0

（即

X, Y

不相关）。

于是

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y) = D (X) + D (Y)

，(B) 正确。

排除：

D (X Y) \neq = D (X) D (Y)

一般不成立（A 错）；不相关不一定独立，(C)(D) 均不能断定。故选 B。

考点：协方差与相关系数、方差

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