1990 年考研数学（三） 第 4 题

「方程组有解求参数条件」→ 增广矩阵行化简，令自由出现的常数行 $=0$（即 $r(A)=r(\bar{A})$）。坑：本题四式作交错和左边恒为 $0$，故 $a_1+a_2+a_3+a_4=0$。

本题考查非齐次线性方程组有解（相容）的条件。 对增广矩阵作初等行变换，让右端逼出「相容性条件」。

$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& -a_1\\ 0& 1& 1& 0& a_2\\ 0& 0& 1& 1& -a_3\\ 1& 0& 0& 1& a_4\end{array}\right)\stackrel{r_4-r_1,+r_2,-r_3}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& -a_1\\ 0& 1& 1& 0& a_2\\ 0& 0& 1& 1& -a_3\\ 0& 0& 0& 0& a_1+a_2+a_3+a_4\end{array}\right).$

要 $r(A)=r(\bar{A})$（方程组有解），须 $a_1+a_2+a_3+a_4=0$。（也可由 $r_1-r_2+r_3-r_4$ 使左端恒为 $0$，直接得 $-(a_1+a_2+a_3+a_4)=0$。）