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1990 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为

\frac{80}{81}

，则该射手的命中率为 ___

提示 1

设命中率

p

，四次独立射击命中数服从

B (4, p)

。

提示 2

「至少命中一次」

= 1 -

「一次都不中」

= 1 - (1 - p)^{4}

。

提示 3

令其

= \frac{80}{81}

解出

p

。

答案与详解

答案 $\frac{2}{3}$

思路（为什么这么做）

「独立重复

n

次，至少一次成功的概率」→ 对立事件

1 - (1 - p)^{n}

。坑：

(1 - p)^{4} = \frac{1}{81} \Rightarrow 1 - p = \frac{1}{3}

取正根。

解答

本题考查二项分布 / 独立重复试验（伯努利概型）。 设命中率为

p

，四次命中数

X \sim B (4, p)

，「至少一次」用对立事件「一次都不中」。

P {X \geq 1} = 1 - P {X = 0} = 1 - (1 - p)^{4} = \frac{80}{81}

，故

(1 - p)^{4} = \frac{1}{81}

。

1 - p = \frac{1}{3} \Rightarrow p = \frac{2}{3}

。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、事件的独立性

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