1990 年考研数学（三） 第 6 题

判断「无界」→ 找一列 $x_n\to \infty$ 使某正因子不衰减。坑：$\tan x$ 有间断，$x_n$ 要避开 $\frac{\pi }{2}+k\pi$；本题因子 $x$ 已足以让 $f\to \infty$。

本题考查函数性态（奇偶、周期、有界、单调）的判断。 判「无界」可取一列自变量看函数值是否趋于 $\infty$。

取 $x_n=2n\pi +\frac{\pi }{4}$，则 $\tan x_n=1,\sin x_n=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$f(x_n)=x_n\cdot 1\cdot {\mathrm{e}}^{\sqrt{2}/2}\to +\infty (n\to \infty )$，故 $f(x)$ 无界，选 B。

排除其他项：$f(-x)=x\tan x{\mathrm{e}}^{-\sin x}\ne \pm f(x)$，非奇非偶；因子 $x$ 与 ${\mathrm{e}}^{\sin x}$ 破坏周期性；$f$ 在定义域上也不单调。