1990 年考研数学（三） 第 7 题

抽象函数方程 $f(1+x)=af(x)$ 求 $f^{\prime }(1)$ → 直接套导数定义，把 $f(1+x)$ 换成 $af(x)$、$f(1)$ 换成 $af(0)$，凑 $f^{\prime }(0)$。坑：$f^{\prime }(1)=ab$ 不是 $a$ 或 $b$。

本题考查用导数定义处理函数方程。 在 $f(1+x)=af(x)$ 中令 $x=0$ 得 $f(1)=af(0)$，再按定义算 $f^{\prime }(1)$。

$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+x)-f(1)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{af(x)-af(0)}{x}=a\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=a{f}^{\prime }(0)=ab.$

故 $f(x)$ 在 $x=1$ 可导且 $f^{\prime }(1)=ab$，选 D。