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1989 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 10 分

已知函数

f (x) = {x, 2 - x, 0 \leq x \leq 1, 1 < x \leq 2,

计算下列各题：（1）

S_{0} = \int_{0}^{2} f (x) e^{- x} d x

；（2）

S_{1} = \int_{2}^{4} f (x - 2) e^{- x} d x

；（3）

S_{n} = \int_{2 n}^{2 n + 2} f (x - 2 n) e^{- x} d x (n = 2, 3, \dots)

；（4）

S = n = 0 \sum \infty S_{n}

。

提示 1

（1）按

f

的两段分别积分，

x e^{- x}

、

(2 - x) e^{- x}

用分部积分。

提示 2

（2）（3）平移换元

t = x - 2 n

，把每段搬到基准区间

[0, 2]

，提出常数因子

e^{- 2 n}

，得

S_{n} = e^{- 2 n} S_{0}

。

提示 3

（4）

\sum_{n \geq 0} e^{- 2 n}

是公比

e^{- 2}

的等比级数，和为

\frac{1}{1 - e ^{- 2}}

，再化简。

答案与详解

答案 $S_{0} = 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e ^{2}}$ ； $S_{1} = e^{- 2} (1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e ^{2}})$ ； $S_{n} = e^{- 2 n} (1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e ^{2}})$ ； $S = \frac{e - 1}{e + 1}$

思路（为什么这么做）

见“区间逐段平移的同型积分求和”→ 换元把每段搬到同一基准区间，提因子得

S_{n} = r^{n} S_{0}

，再用等比级数

\sum r^{n} = \frac{1}{1 - r}

。坑：

S_{0} = (1 - 1/ e)^{2}

可与

\frac{1}{1 - e ^{- 2}}

约分成简洁的

\frac{e - 1}{e + 1}

。

解答

本题考查分段函数定积分（分部积分）与等比级数求和。 （1）分两段：

S_{0} = \int_{0}^{1} x e^{- x} d x + \int_{1}^{2} (2 - x) e^{- x} d x

。分部积分得

\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = 1 - \frac{2}{e}

，

\int_{1}^{2} (2 - x) e^{- x} d x = \frac{1}{e ^{2}}

，故

S_{0} = 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e ^{2}}

。

（2）（3）作平移换元

t = x - 2 n

，区间搬回

[0, 2]

：

S_{n} = \int_{0}^{2} f (t) e^{- (t + 2 n)} d t = e^{- 2 n} \int_{0}^{2} f (t) e^{- t} d t = e^{- 2 n} S_{0}

。特别地

S_{1} = e^{- 2} S_{0}

。

（4）

S = n = 0 \sum \infty e^{- 2 n} S_{0} = S_{0} \cdot \frac{1}{1 - e ^{- 2}}

。注意

S_{0} = (1 - \frac{1}{e})^{2} = \frac{( e - 1 ) ^{2}}{e ^{2}}

，

\frac{1}{1 - e ^{- 2}} = \frac{e ^{2}}{( e - 1 ) ( e + 1 )}

，相乘约简得

S = \frac{e - 1}{e + 1}

。

考点：定积分的计算、换元积分法与分部积分法、常数项级数的概念与性质

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