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1989 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 9 分

设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为

P = P (x) = 10 e^{- x /2}

，且最大需求量为

6

，其中

x

表示需求量，

P

表示价格。（1）求该商品的收益函数和边际收益函数；（2）求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格；（3）画出收益函数的图形。

提示 1

收益

R = x \cdot P (x)

，把需求函数代入。

提示 2

边际收益即

R^{'} (x)

（乘积法则），令

R^{'} = 0

求驻点。

提示 3

用

R^{''} < 0

判极大，再代回求最大收益与对应价格

P

。

答案与详解

答案（1）收益函数 $R (x) = 10 x e^{- x /2} (0 \leq x \leq 6)$ ，边际收益 $R^{'} (x) = 5 (2 - x) e^{- x /2}$ ；（2）产量 $x = 2$ 时收益最大，最大收益 $R (2) = \frac{20}{e}$ ，相应价格 $P (2) = \frac{10}{e}$

思路（为什么这么做）

经济最优化“求最大收益”→ 先写

R = x P

，由

R^{'} = 0

（边际收益为零）定产量，

R^{''} < 0

验极大。坑：问“相应价格”要代回

P (x)

，不是

R (x)

。

解答

本题考查经济应用：收益＝价格×销量、边际收益（导数）与最值。 （1）收益函数

R (x) = x P (x) = 10 x e^{- x /2}

，定义域

0 \leq x \leq 6

。

边际收益

R^{'} (x) = 10 e^{- x /2} + 10 x (- \frac{1}{2}) e^{- x /2} = 5 (2 - x) e^{- x /2}

。

（2）令

R^{'} (x) = 0

得

x = 2

；又

R^{''} (x) = \frac{5}{2} (x - 4) e^{- x /2}

，

R^{''} (2) = - \frac{5}{e} < 0

，故

x = 2

为极大即最大。最大收益

R (2) = 20 e^{- 1} = \frac{20}{e}

，相应价格

P (2) = 10 e^{- 1} = \frac{10}{e}

。

（3）

R (x)

在

[0, 2)

单调增、

(2, 6]

单调减，

x = 2

处取极大值

\frac{20}{e}

；

x = 4

处有拐点

(4, \frac{40}{e ^{2}})

。据此描出先升后降的单峰曲线。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、函数的单调性与极值

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