1989 年考研数学（三） 第 13 题

常系数非齐次 $+k{e}^{\alpha x}$→ 齐次通解 + 特解 $y^{\ast }=a{e}^{\alpha x}$；当 $\alpha$ 是 $k$ 重特征根时乘 $x^k$。坑：此处 $\alpha =-1$ 非特征根，不用乘 $x$。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程。 特征方程 ${\lambda }^2+5\lambda +6=0$，根 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-3$，齐次通解 $Y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-3x}$。

自由项 $2e^{-x}$ 中指数 $-1$ 不是特征根，设特解 $y^{\ast }=a{e}^{-x}$，代入 $y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y$ 得 $(1-5+6)a{e}^{-x}=2a{e}^{-x}$。

令 $2a=2\Rightarrow a=1$，故 $y^{\ast }=e^{-x}$。通解 $y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^{-3x}+e^{-x}$。