1989 年考研数学（三） 第 12 题

多元复合求高阶偏导→ 记住 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍是 $u,v$ 的函数，二次求导要“再复合”；含 $y$ 因子处用乘积法则。坑：别漏 $y{f}_2^{\prime }$ 对 $y$ 求导产生的 $f_2^{\prime }$ 项。

本题考查多元复合函数的二阶偏导。 先对 $x$ 求导（$u_x=1,v_x=y$）：$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }+y{f}_2^{\prime }$。

再对 $y$ 求导，注意 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍是 $u,v$ 的复合函数（$u_y=1,v_y=x$）：$\frac{\partial }{\partial y}{f}_1^{\prime }=f_{11}^{\prime \prime }+x{f}_{12}^{\prime \prime }$；对 $y{f}_2^{\prime }$ 用乘积法则 $\frac{\partial }{\partial y}(y{f}_2^{\prime })=f_2^{\prime }+y(f_{21}^{\prime \prime }+x{f}_{22}^{\prime \prime })$。

相加并用混合偏导相等 $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$：$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_2^{\prime }+f_{11}^{\prime \prime }+(x+y)f_{12}^{\prime \prime }+xy{f}_{22}^{\prime \prime }$。