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1989 年考研数学（三）第 11 题

解答题 · 5 分

求极限

x \to \infty lim (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x})^{x}

。

提示 1

识别

1^{\infty}

型，用

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

（或取对数）。

提示 2

令

t = 1/ x

把

x \to \infty

化为

t \to 0

。

提示 3

\frac{sin t}{t} \to 1

，

\frac{cos t - 1}{t} \to 0

。

答案与详解

答案 $e$

思路（为什么这么做）

1^{\infty}

幂指极限→ 用

e^{l i m v (u - 1)}

或取对数；

x \to \infty

时换元

t = 1/ x

。坑：

\frac{cos t - 1}{t} \to 0

（分子是

t^{2}

阶），别当成非零。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型幂指极限。

x \to \infty

时底

\to 1

、指数

\to \infty

，用公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

求指数极限，令

t = \frac{1}{x} \to 0

：

x \to \infty lim x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x} - 1) = t \to 0 lim \frac{sin t + cos t - 1}{t}

。

= t \to 0 lim (\frac{sin t}{t} + \frac{cos t - 1}{t}) = 1 + 0 = 1

。故原极限

= e^{1} = e

。

考点：极限的计算方法综合、两个重要极限、等价无穷小替换

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