1989 年考研数学（三） 第 16 题

证含变上限积分构造的函数 $F^{\prime }$ 有定号→ 先商求导＋变限求导写出 $F^{\prime }$，分子用积分中值定理化出 $f(c)$，再用拉格朗日把 $f(x)-f(c)$ 变成 $f^{\prime }(\xi )$。坑：靠 $x-c\ge 0$ 与 $f^{\prime }\le 0$ 共同定号。

本题考查变上限积分求导与积分中值、拉格朗日中值定理的综合运用。 对 $F(x)=\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt$，用商的求导法则及变限积分求导：$F^{\prime }(x)=\frac{(x-a)f(x)-{\int }_a^{x}f(t)dt}{(x-a{)}^2}$。

由积分中值定理，存在 $c\in [a,x]$ 使 ${\int }_a^{x}f(t)dt=(x-a)f(c)$。代入分子得 $(x-a)f(x)-(x-a)f(c)=(x-a)[f(x)-f(c)]$。

再由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (c,x)$ 使 $f(x)-f(c)=(x-c)f^{\prime }(\xi )$，于是分子 $=(x-a)(x-c)f^{\prime }(\xi )$。

当 $x\in (a,b)$ 时 $x-a>0,x-c\ge 0$，又 $f^{\prime }(\xi )\le 0$，所以 $F^{\prime }(x)=\frac{(x-a)(x-c)f^{\prime }(\xi )}{(x-a{)}^2}\le 0$。证毕。