1989 年考研数学（三） 第 17 题

遇 $X=AX+B$ 型矩阵方程→ 化成 $(E-A)X=B$ 再左乘逆矩阵。坑：是 $(E-A{)}^{-1}B$（逆在左），$B$ 为 $3\times 2$ 故 $X$ 也是 $3\times 2$，别把乘序写反。

本题考查矩阵方程求解与矩阵求逆。 由 $X=AX+B$ 移项得 $(E-A)X=B$，故 $X=(E-A{)}^{-1}B$。

$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$，用初等行变换求逆得 $(E-A{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ -3& 2& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$。

$X=(E-A{)}^{-1}B=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ -3& 2& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\\ 5& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$。