1987 年考研数学（三） 第 18 题

弹性题 → 用定义 $\eta =\frac{p}{x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}$ 列出可分离变量的微分方程再积分。坑：定常数用「最大需求」这一条件——需求随价格递减，最大需求在 $p=0$ 处，代入得 $C=1$。

本题考查经济中的弹性概念与微分方程的经济应用。 需求对价格的弹性定义为 $\eta =\frac{\mathrm{d}x/\mathrm{d}p}{x/p}=\frac{p}{x}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}$。

由 $\frac{p}{x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=-3p^3$，整理成可分离变量方程 $\frac{\mathrm{d}x}{x}=-3p^2\mathrm{d}p$。两边积分：$\ln |x|=-p^3+C_1$，即
$$x=C{\mathrm{e}}^{-p^3}.$$

最大需求量在价格 $p=0$ 时取得（价格越高需求越小），此时 $x=C=1$，故 $C=1$。所以需求函数为 $x={\mathrm{e}}^{-p^3}$。