1987 年考研数学（三） 第 17 题

被积含 ${\mathrm{e}}^{x^2}$（无初等原函数）→ 累次积分时务必先对另一变量 $y$ 积分，把 $x$ 留到最后凑 $\mathrm{d}(x^2)$。坑：积分次序选反（先对 $x$）会卡在 $\int {\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$ 上算不出。

本题考查二重积分化累次积分，并利用 ${\mathrm{e}}^{x^2}$ 只含 $x$ 的特点先对 $y$ 积分。 关键：${\mathrm{e}}^{x^2}$ 没有初等原函数，必须让含 $x$ 的部分留到最后配成 $\mathrm{d}(x^2)$。

第一象限内 $0\le x\le 1$ 时 $x^3\le x$，故区域 $D:0\le x\le 1,x^3\le y\le x$。先对 $y$ 积分：
$${\iint }_D{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x^2}\left({\int }_{x^3}^x\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1(x-x^3){\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x.$$

凑微分 $\mathrm{d}(x^2)=2x\mathrm{d}x$，令 $u=x^2$：
$$=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-x^2){\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}(x^2)=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-u){\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u.$$

而 $\int (1-u){\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u=(2-u){\mathrm{e}}^u$（分部积分），代入上下限：$\frac{1}{2}[(2-u){\mathrm{e}}^u{]}_0^1=\frac{1}{2}[(1)\mathrm{e}-2]=\frac{\mathrm{e}}{2}-1$。