1987 年考研数学（三） 第 16 题

有理函数展幂级数 → 部分分式拆成若干 $\frac{1}{a-x}$，各自套几何级数 $\frac{1}{1-u}=\sum u^n$。坑：$\frac{1}{2-x}$ 要先提 $\frac{1}{2}$ 凑成 $\frac{1}{1-x/2}$；收敛区间取所有部分收敛域的交集（这里被较窄的 $|x|<1$ 卡住）。

本题考查用部分分式 + 几何级数把有理函数展成幂级数。 先因式分解 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，再拆成部分分式。

$$f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2-x}.$$
利用几何级数 $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n(-1<x<1)$；
又 $\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x/2}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{x}{2}{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}}(-2<x<2)$。

两式相减：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-\frac{1}{2^{n+1}})x^n.$$
收敛区间取两者公共部分 $(-1,1)\cap (-2,2)=(-1,1)$。