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1987 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 10 分

设

y = sin x (0 \leq x \leq \frac{π}{2})

。对

t \in [0, \frac{π}{2}]

，作水平直线

y = sin t

，它与曲线

y = sin x

围成两块阴影：

S_{1}

是在

[0, t]

上由直线

y = sin t

与曲线

y = sin x

所围部分的面积，

S_{2}

是在

[t, \frac{π}{2}]

上由曲线

y = sin x

与直线

y = sin t

所围部分的面积。问：
(1)

t

取何值时，面积之和

S = S_{1} + S_{2}

最小？
(2)

t

取何值时，面积之和

S = S_{1} + S_{2}

最大？

提示 1

在

[0, t]

上

sin t \geq sin x

、在

[t, \frac{π}{2}]

上

sin x \geq sin t

，据此把

S_{1}, S_{2}

写成定积分。

提示 2

算出

S (t) = (2 t - \frac{π}{2}) sin t + 2 cos t - 1

。

提示 3

求

S^{'} (t) = (2 t - \frac{π}{2}) cos t

，令其为 0 得

t = \frac{π}{4}

；再与端点

t = 0, \frac{π}{2}

比较取最值。

答案与详解

答案当 $t = \frac{π}{4}$ 时 $S$ 最小（ $S = 2 - 1$ ）；当 $t = 0$ 时 $S$ 最大（ $S = 1$ ）

思路（为什么这么做）

面积对参数取最值：先用定积分把

S (t)

写出（注意谁大谁小定被积函数正负），再对

t

求导。坑：闭区间最值要把驻点值与两端点值一并比较——本题最大值恰在端点

t = 0

取得，而非驻点。

解答

本题考查用定积分表示面积，再对参数 $t$ 求最值。 在

[0, t]

上

sin t \geq sin x

，在

[t, \frac{π}{2}]

上

sin x \geq sin t

，据此写出两块面积。

S_{1} = \int_{0}^{t} (sin t - sin x) d x = t sin t + cos t - 1,

S_{2} = \int_{t}^{π /2} (sin x - sin t) d x = cos t - (\frac{π}{2} - t) sin t .

相加：

S = S_{1} + S_{2} = (2 t - \frac{π}{2}) sin t + 2 cos t - 1

。

对

t

求导：

S^{'} = 2 sin t + (2 t - \frac{π}{2}) cos t - 2 sin t = (2 t - \frac{π}{2}) cos t

。令

S^{'} = 0

得

t = \frac{π}{4}

或

t = \frac{π}{2}

（

cos t = 0

）。

比较区间

[0, \frac{π}{2}]

上驻点与端点的值：

S (0) = 1, S (\frac{π}{4}) = 2 - 1 \approx 0.414, S (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 1 \approx 0.571

。故 $t = \frac{π}{4}$ 时 $S$ 最小（

S = 2 - 1

）； $t = 0$ 时 $S$ 最大（

S = 1

）。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、函数的单调性与极值

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