1987 年考研数学（三） 第 14 题

被积函数含 ${\mathrm{e}}^{\sqrt{ax+b}}$ → 先令 $t=\sqrt{ax+b}$ 去根号，$\mathrm{d}x$ 会带出一个因子 $t$，正好化成 $\int t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$ 用分部积分。坑：换元后别忘 $\mathrm{d}x=t\mathrm{d}t$，最后要把 $t$ 回代成 $x$。

本题考查根式换元 + 分部积分。 被积函数含 $\sqrt{2x-1}$，作根式代换去掉根号。

令 $\sqrt{2x-1}=t$，则 $x=\frac{1}{2}(1+t^2)$，$\mathrm{d}x=t\mathrm{d}t$。于是
$$\int {\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}\mathrm{d}x=\int {\mathrm{e}}^t\cdot t\mathrm{d}t=\int t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t.$$

分部积分（$\int t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=t{\mathrm{e}}^t-\int {\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=(t-1){\mathrm{e}}^t+C$），再回代 $t=\sqrt{2x-1}$：
$$=\left(\sqrt{2x-1}-1\right){\mathrm{e}}^{\sqrt{2x-1}}+C.$$