1987 年考研数学（三） 第 13 题

求 $\mathrm{d}z$ 就是分别求 $z_x,z_y$ 再组装。含 $\arctan \frac{\cdot }{\cdot }$ 时先把 $1+u^2$ 通分成 $\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y{)}^2}$，能与商导数里的 $(x-y{)}^2$ 约掉。坑：分子对 $x$ 求导得 $-2y$（不是 $+2y$），符号别错。

本题考查二元函数的偏导数与全微分。 外层 $\arctan u$ 求导得 $\frac{1}{1+u^2}$，其中 $u=\frac{x+y}{x-y}$，且 $1+u^2=1+\frac{(x+y{)}^2}{(x-y{)}^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y{)}^2}$。

对 $x$ 求偏导（内层用商的求导法则，分子对 $x$ 求导为 $(x-y)-(x+y)=-2y$）：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{(x-y)-(x+y)}{(x-y{)}^2}=\frac{(x-y{)}^2}{2(x^2+y^2)}\cdot \frac{-2y}{(x-y{)}^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}.$$

对 $y$ 求偏导（分子对 $y$ 求导为 $(x-y)+(x+y)=2x$）：
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+u^2}\cdot \frac{(x-y)+(x+y)}{(x-y{)}^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.$$

故 $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=-\frac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$。