1987 年考研数学（三） 第 12 题

对含 $\ln \frac{M}{N}$ 的函数求导，先拆 $\ln M-\ln N$ 再求导最省事。坑：两项通分时用平方差 $(\sqrt{1+x^2}{)}^2-1=x^2$，分子相减得常数 $2$，结果化为 $\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}$。

本题考查对数函数的求导——先用对数运算把商拆成差，能大幅简化求导。 记 $t=\sqrt{1+x^2}$，注意 $t^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

拆开对数：$y=\ln (\sqrt{1+x^2}-1)-\ln (\sqrt{1+x^2}+1)$。逐项求导：
$$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-1}\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

提取公因子并合并（利用 $(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)=x^2$）：
$$y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{(\sqrt{1+x^2}+1)-(\sqrt{1+x^2}-1)}{x^2}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{2}{x^2}=\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}.$$