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1987 年考研数学（三）第 11 题

解答题 · 4 分

求极限

x \to 0 lim (1 + x e^{x})^{\frac{1}{x}}

。

提示 1

识别为

1^{\infty}

型：底

\to 1

、指数

\to \infty

。

提示 2

凑第二个重要极限：写成

[(1 + x e^{x})^{1/ (x e^{x})}]^{e^{x}}

。

提示 3

内层

\to e

、外层指数

e^{x} \to 1

，故结果为

e

。

答案与详解

答案 $e$

思路（为什么这么做）

1^{\infty}

型 → 取对数或凑

(1 + u)^{1/ u} \to e

。这里

u = x e^{x}

，把指数拆成

\frac{1}{u} \cdot e^{x}

，内层给

e

、外层

e^{x} \to 1

。坑：极限

= e^{l i m (指数 \cdot u)} = e^{1}

，别误以为是

e^{0} = 1

。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型幂指极限。 当

x \to 0

时底

1 + x e^{x} \to 1

、指数

\frac{1}{x} \to \infty

，是

1^{\infty}

未定式，标准做法是凑第二个重要极限

lim_{u \to 0} (1 + u)^{1/ u} = e

。

令

u = x e^{x} \to 0

，把指数配成

\frac{1}{u} \cdot u \cdot \frac{1}{x}

：

(1 + x e^{x})^{\frac{1}{x}} = [(1 + x e^{x})^{\frac{1}{x e ^{x}}}]^{e^{x}} .

内层

\to e

，外层指数

e^{x} \to e^{0} = 1

，故极限

= e^{1} = e

。
（也可取对数：

\frac{1}{x} ln (1 + x e^{x}) \sim \frac{1}{x} \cdot x e^{x} = e^{x} \to 1

。）

考点：两个重要极限、极限的计算方法综合

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