1987 年考研数学（三） 第 19 题

解非齐次方程组 → 增广矩阵化行最简形，比较 $r(A)$ 与 $r(\bar{A})$ 判解的存在性；相等且 $<n$ 时有无穷多解。坑：通解写成「一个特解 + 齐次通解」，自由变量个数 $=n-r$（本题 $4-3=1$）。

本题考查非齐次线性方程组的通解——对增广矩阵作初等行变换化为行最简形。

对增广矩阵 $\bar{A}$ 行变换：
$$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& 4& -3& -4\\ 1& 0& 1& -1& -3\\ 3& 1& 1& 0& 1\\ 7& 0& 7& -3& 3\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 3\\ 0& 1& -2& 0& -8\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
秩 $r(\bar{A})=r(A)=3<4$，故有无穷多解，含 $1$ 个自由未知量。

取 $x_3$ 为自由未知量。由行最简形得 $x_1=3-x_3,x_2=-8+2x_3,x_4=6$。令 $x_3=k$：
$$X=\left(\begin{array}{c}3-k\\ -8+2k\\ k\\ 6\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -8\\ 0\\ 6\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$