1987 年考研数学（三） 第 20 题

矩阵方程含未知阵 $B$ → 移项提取因子成 $(A-2E)B=A$，两边左乘 $(A-2E{)}^{-1}$。坑：$B$ 在右边，须左乘逆矩阵，写成 $B=(A-2E{)}^{-1}A$（不是 $A(A-2E{)}^{-1}$），顺序不能反。

本题考查矩阵方程的求解——先移项、提取公因子成 $(\cdot )B=(\cdot )$，再求逆。 由 $AB=A+2B$ 得 $AB-2B=A$，即 $(A-2E)B=A$。

若 $A-2E$ 可逆，则 $B=(A-2E{)}^{-1}A$。其中
$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 3\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right).$$

用 $(A-2E\mid E)$ 行变换求逆得 $(A-2E{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{array}\right)$。

于是
$$B=(A-2E{)}^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -3\\ 1& -5& -3\\ -1& 6& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -8& -6\\ 2& -9& -6\\ -2& 12& 9\end{array}\right).$$