1987 年考研数学（三） 第 21 题

求实特征值 → 解特征多项式后，判二次因子判别式：$<0$ 的共轭复根要舍去。坑：题目强调「实」特征值，${\lambda }^2+4\lambda +5=0$ 无实根须排除，只保留 $\lambda =1$；特征向量记得写成 $k\alpha (k\ne 0)$。

本题考查特征值与特征向量的求法，注意题目只要求「实」特征值。 记 $A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& 2\\ 0& -1& 4\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$，解特征方程 $|\lambda E-A|=0$。

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& -2\\ 0& \lambda +1& -4\\ 1& 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1)({\lambda }^2+4\lambda +5)=0.$$
二次因子 ${\lambda }^2+4\lambda +5=0$ 的判别式 $16-20<0$，无实根，故唯一实特征值为 $\lambda =1$。

求 $\lambda =1$ 的特征向量，解 $(E-A)x=0$：
$$E-A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 0& 2& -4\\ 1& 0& 0\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得 $x_1=0,x_2=2x_3$。取 $x_3=1$ 得特征向量 $\alpha =(0,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，即 $\lambda =1$ 的全部特征向量为 $k(0,2,1{)}^{\mathrm{T}}(k\ne 0)$。