2024 年考研数学（二） 第 8 题

看到 $P^{\mathrm{T}}A{P}^2$ 求 $A$，本质是「$A$ 被夹在可逆矩阵中间」，两边乘逆解出即可。$P$ 只比单位阵多一个 $1$，它的逆就是把那个 $1$ 变成 $-1$，计算量很小。更快的心算法是把 $P$、$P^{\mathrm{T}}$ 看成初等行/列变换，反向操作把给定矩阵的非对角项逐个消去，直接读出对角阵 $\mathrm{diag}(a,b,c)$。

本题考查矩阵运算与初等矩阵。 $P$ 是初等矩阵，可逆，故可从等式两侧解出 $A$：
$$A=(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}(P^{\mathrm{T}}A{P}^2)(P^2{)}^{-1}=(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}(P^{\mathrm{T}}A{P}^2)(P^{-1}{)}^2.$$

由 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ 得
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right),(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

代入计算：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right).$$
故应选 C。

几何视角（初等变换）： 右乘 $P$ 相当于「把第三列加到第一列」，左乘 $P^{\mathrm{T}}$ 相当于「把第三行加到第一行」。要从 $P^{\mathrm{T}}A{P}^2$ 还原 $A$，只需对给定矩阵「第一行减去第三行，再用第一列减去 $2$ 倍第三列」，即得 $\mathrm{diag}(a,b,c)$。