2024 年考研数学（二） 第 9 题

伴随矩阵题的两个抓手：秩公式（把 $A^{\ast }$ 的秩锁死在 $4,1,0$ 三档）和 $A{A}^{\ast }=|A|E$。本题链条清晰：$A\ne A^{\ast }$ 逼出 $r(A)\le 3\Rightarrow |A|=0\Rightarrow A{A}^{\ast }=O$；再回代得 $A^2=O$ 把秩压到 $\le 2$；此档下 $A^{\ast }=O$，而 $A\ne A^{\ast }$ 又排除了 $A=O$。层层夹逼，最终 $r(A)\in \{1,2\}$。

本题考查伴随矩阵与矩阵的秩。 用到两条结论：$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$；若 $AB=O$，则 $r(A)+r(B)\le n$。$n$ 阶时伴随矩阵秩的公式为 $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)\le n-2\end{array}$。

由 $A(A-A^{\ast })=O$ 得 $r(A)+r(A-A^{\ast })\le 4$。又 $A\ne A^{\ast }$ 即 $A-A^{\ast }\ne O$，故 $r(A-A^{\ast })\ge 1$，从而 $r(A)\le 3$。于是 $|A|=0$，进而 $A{A}^{\ast }=|A|E=O$。

由 $A(A-A^{\ast })=O$ 展开得 $A^2-A{A}^{\ast }=O$，结合 $A{A}^{\ast }=O$ 知 $A^2=O$。再由 $A^2=O$ 得 $2r(A)\le 4$，即 $r(A)\le 2$。

当 $r(A)\le 2$（即 $r(A)\le n-2$）时 $r(A^{\ast })=0$，即 $A^{\ast }=O$。由于 $A\ne A^{\ast }=O$，故 $A\ne O$，从而 $r(A)\ge 1$。因此 $r(A)$ 的取值为 $1$ 或 $2$，应选 D。

两种情形都可实现： 取 $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 $r(A)=1$，$A^2=O$，$A^{\ast }=O\ne A$；取 $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 $r(A)=2$，同样满足条件。