2024 年考研数学（二） 第 10 题

可交换矩阵的核心性质：$A$ 的特征子空间是 $B$ 的不变子空间。当 $A$ 有两个不同特征值时，两个一维特征子空间各自被 $B$ 保持，于是 $A$ 的特征向量顺带成为 $B$ 的特征向量，$B$ 就被「对角化」了——这是充分性。而必要性一眼可破：$A=B=E$ 时 $B$ 平凡可对角化，$A$ 却只有重特征值。所以是充分不必要。

本题考查矩阵可对角化的条件（$n$ 阶矩阵可对角化 $⟺$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量）以及可交换矩阵的性质。

充分性成立。 设 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 是 $A$ 的两个不同特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 为对应特征向量，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。由 $AB=BA$ 得
$$A(B{\alpha }_i)=B(A{\alpha }_i)={\lambda }_i(B{\alpha }_i)(i=1,2).$$
若 $B{\alpha }_i\ne 0$，则 $B{\alpha }_i$ 是 $A$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量；因 $A$ 的每个特征值只有一维特征子空间，故 $B{\alpha }_i=k_i{\alpha }_i$，即 ${\alpha }_i$ 是 $B$ 的特征向量。若 $B{\alpha }_i=0$，则 ${\alpha }_i$ 是 $B$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。无论哪种情形，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 都是 $B$ 的两个线性无关特征向量，故 $B$ 可对角化。

必要性不成立。 取 $A=B=E$，则 $AB=BA$，且 $B=E$ 显然可对角化，但 $A=E$ 只有一个特征值 $1$，并非有两个不相等的特征值。

综上，「$A$ 有两个不相等的特征值」是「$B$ 可对角化」的充分不必要条件，应选 B。