2024 年考研数学（二） 第 11 题

识别信号：抛物线 $y^2=x$ 在顶点 $(0,0)$ 切线竖直，$y^{\prime }$ 发散——这是「必须用参数式求曲率」的提示。以 $y$ 为参数后一切正常，$K=2$、$\rho =\frac{1}{2}$。定圆心的关键是判断凹向：曲线向右开口，中心就在法线（$x$ 轴）正方向 $\frac{1}{2}$ 处，得 $(\frac{1}{2},0)$。

本题考查曲率与曲率圆。 曲率圆的圆心（曲率中心）在凹侧的法线上，与曲率半径 $\rho =\frac{1}{K}$。因曲线在 $(0,0)$ 处切线竖直（$\frac{dy}{dx}$ 不存在），改用参数式计算最方便。

把曲线写成参数式 $\{\begin{array}{l}x=y^2\\ y=y\end{array}$（以 $y$ 为参数），则 $\frac{dx}{dy}=2y,\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=2,\frac{dy}{dy}=1,\frac{d^{2}y}{d{y}^2}=0$。曲率
$$K=\frac{|2y\cdot 0-2\cdot 1|}{[(2y{)}^2+1^2{]}^{3/2}}=\frac{2}{(4y^2+1{)}^{3/2}}.$$

在 $(0,0)$ 处（$y=0$）：$K=\frac{2}{1}=2$，曲率半径 $\rho =\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$。

曲线在 $(0,0)$ 的切线为 $y$ 轴，法线为 $x$ 轴；曲线向 $x>0$ 一侧弯曲，故曲率中心在 $x$ 轴正向 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。因此曲率圆方程为
$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}.$$