2024 年考研数学（二） 第 12 题

二元极值的标准流程：先解 $f_x=f_y=0$ 得候选驻点，再用 Hessian 判别 $AC-B^2$ 定性。本题两个驻点 $x=1,2$ 都配 $y=1$，差别全在 $f_{xx}=12x-18$ 的符号：$x=1$ 时为负（配上 $f_{yy}<0$ 得极大），$x=2$ 时为正（与 $f_{yy}<0$ 异号，判别式为负，是鞍点）。所以只有 $(1,1)$ 是极值点。

本题考查二元函数的无条件极值。 先求驻点，再用二阶判别 $AC-B^2$ 逐点判断。

求驻点：
$$\{\begin{array}{l}{f}_x=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)=0\\ f_y=-24y^3+24=-24(y^3-1)=0\end{array}\Rightarrow x=1\text{或}2,y=1.$$
故驻点为 $(1,1)$ 与 $(2,1)$。

二阶偏导：$f_{xx}=12x-18,f_{xy}=0,f_{yy}=-72y^2$。

在 $(1,1)$：$A=f_{xx}=-6,B=f_{xy}=0,C=f_{yy}=-72$，$AC-B^2=(-6)(-72)=432>0$ 且 $A<0$，故 $(1,1)$ 是极大值点。

在 $(2,1)$：$A=6,B=0,C=-72$，$AC-B^2=6\times (-72)=-432<0$，故 $(2,1)$ 不是极值点（鞍点）。

因此 $f(x,y)$ 的唯一极值点为 $(1,1)$。