2024 年考研数学（二） 第 13 题

看到 $y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$ 这种右端只依赖 $x+y$ 的方程，标准招法是令 $u=x+y$，则 $u^{\prime }=1+y^{\prime }$，立刻变成可分离方程。积分时把 $\frac{u^2}{1+u^2}$ 拆成 $1-\frac{1}{1+u^2}$ 就能积出 $u-\arctan u$。最后别忘了代回 $u=x+y$ 并用初值定常数，答案通常写成隐式形式。

本题考查一阶微分方程求解。 方程不是标准的可分离或一阶线性型，但形式 $y^{\prime }=g(x+y)$ 提示令 $u=x+y$ 换元化为可分离方程。

令 $u=x+y$，则 $\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$，原方程化为
$$\frac{du}{dx}-1=\frac{1}{u^2},\text{即}\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{u^2}.$$

这是可分离变量方程：$\left(1-\frac{1}{1+u^2}\right)du=dx$。两端积分得
$$u-\arctan u=x+C.$$

由 $y(1)=0$ 知 $u(1)=1+0=1$，代入得 $1-\arctan 1=1+C$，即 $1-\frac{\pi }{4}=1+C$，解得 $C=-\frac{\pi }{4}$。于是 $u-\arctan u=x-\frac{\pi }{4}$。

将 $u=x+y$ 代回并整理：$x+y-\arctan (x+y)=x-\frac{\pi }{4}$，即
$$y-\arctan (x+y)+\frac{\pi }{4}=0.$$