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2024 年考研数学（二）第 14 题

填空题 · 5 分

已知函数

f (x) = x^{2} (e^{x} + 1)

，则

f^{(5)} (1) =

___。

提示 1

f = x^{2} (e^{x} + 1) = x^{2} e^{x} + x^{2}

，其中

x^{2}

的高阶（

\geq 3

阶）导数为

0

。

提示 2

对

x^{2} e^{x}

用莱布尼茨公式，

v = x^{2}

只有前三阶导数非零，求和只剩

k = 0, 1, 2

三项。

提示 3

得

f^{(5)} (x) = (x^{2} + 10 x + 20) e^{x}

，代入

x = 1

。

答案与详解

答案 $31 e$

思路（为什么这么做）

求「多项式乘

e^{x}

」的高阶导，莱布尼茨公式是首选，因为多项式因子的导数很快归零，求和项数被截断。这里

x^{2}

最多到二阶导非零，五阶导只保留

k = 0, 1, 2

三项，系数是

(0 5), (1 5), (2 5) = 1, 5, 10

，配上

x^{2}, 2 x, 2

即得

(x^{2} + 10 x + 20) e^{x}

。

解答

本题考查高阶导数的计算。 把

f

看作两因子之积，用莱布尼茨公式

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(n - k)} v^{(k)}

。注意

x^{2}

三阶及以上导数为

0

。

写

f (x) = x^{2} (e^{x} + 1) = x^{2} e^{x} + x^{2}

。其中

(x^{2})^{(5)} = 0

，故只需对

x^{2} e^{x}

求五阶导。

记

u = e^{x} + 1

（

u^{(k)} = e^{x}, k \geq 1

），

v = x^{2}

（

v^{'} = 2 x, v^{''} = 2, v^{(k)} = 0, k \geq 3

）。莱布尼茨公式只剩三项：

f^{(5)} (x) = (0 5) u^{(5)} v + (1 5) u^{(4)} v^{'} + (2 5) u^{(3)} v^{''} = e^{x} \cdot x^{2} + 5 e^{x} \cdot 2 x + 10 e^{x} \cdot 2 = (x^{2} + 10 x + 20) e^{x} .

代入

x = 1

：

f^{(5)} (1) = (1 + 10 + 20) e = 31 e

。

考点：高阶导数

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