2024 年考研数学（二） 第 15 题

「平均速度」就是速度函数在时间区间上的积分平均值，即 $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}vdt$——把物理语言翻译成积分即可。剩下是常规定积分，唯一要小心的是 $\int \sin \pi tdt=-\frac{1}{\pi }\cos \pi t$ 的系数与端点 $\cos 3\pi =-1$ 的符号，最终线性解出 $k$。

本题考查函数在区间上的平均值。 函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。这里平均速度 $=\frac{1}{3}{\int }_0^{3}v(t)dt$。

由平均速度为 $\frac{5}{2}$ 得
$$\frac{1}{3}{\int }_0^3(t+k\sin \pi t)dt=\frac{5}{2},\text{即}{\int }_0^3(t+k\sin \pi t)dt=\frac{15}{2}.$$

计算积分：
$${\int }_0^3(t+k\sin \pi t)dt=\left(\frac{t^2}{2}-\frac{k}{\pi }\cos \pi t\right){|}_0^3=\frac{9}{2}-\frac{k}{\pi }\cos 3\pi +\frac{k}{\pi }\cos 0=\frac{9}{2}+\frac{2k}{\pi }.$$
（因 $\cos 3\pi =-1$，$\cos 0=1$。）

于是 $\frac{9}{2}+\frac{2k}{\pi }=\frac{15}{2}$，得 $\frac{2k}{\pi }=3$，即 $k=\frac{3\pi }{2}$。