2024 年考研数学（二） 第 16 题

「线性相关 + 任意两个无关」是把秩精确锁定为 $2$ 的经典组合。秩 $=2$ 等价于所有 $3$ 阶子式为零，于是选两个方便的 $3$ 阶行列式令其为 $0$：先挑一个只含 $a$ 的解出 $a$（注意 $a=1$ 会让两向量重合，被「两两无关」排除），再代回解 $b$。选行时尽量让行列式简单、并确保含 $b$。

本题考查向量组线性相关性与秩。 由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关得 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\le 2$；由任意两个线性无关得 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\ge 2$。故秩恰为 $2$，即矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 的任意 $3$ 阶子式都为 $0$。

取第 $1,2,4$ 行构成的 $3$ 阶子式：
$$\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& 1& a\\ 1& a& 1\end{array}\right|=-(a+2)(a-1{)}^2=0\Rightarrow a=-2\text{或}a=1.$$
当 $a=1$ 时 ${\alpha }_1=(1,1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}={\alpha }_3$，两向量线性相关，不符合「任意两个线性无关」，舍去。故 $a=-2$。

代入 $a=-2$，再取一个含 $b$ 的 $3$ 阶子式（第 $2,3,4$ 行）：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -1& b& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\right|=3b-6=0\Rightarrow b=2.$$

因此 $a=-2,b=2$，$ab=-4$。