2024 年考研数学（二） 第 17 题

看到区域由「$xy=$ 常数」和「$y=kx$」这类关于 $y=x$ 成对出现的边界围成，第一反应是轮换对称性。被积函数里 $x-y$ 在对称区域上积分为零，问题瞬间简化为「求面积」。面积再用极坐标：双曲线 $xy=c$ 和过原点直线在极坐标下都变得整齐（$r$ 的上下限、$\theta$ 的上下限），积分核变成 $\csc 2\theta$，凑微分即得。

本题考查二重积分的计算，关键是利用积分区域关于 $y=x$ 的轮换对称性。 四条边界中，$xy=\frac{1}{3}$、$xy=3$ 关于直线 $y=x$ 对称，$y=\frac{1}{3}x$ 与 $y=3x$ 也关于 $y=x$ 对称，故区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称。

由对称性 ${\iint }_{D}xdxdy={\iint }_{D}ydxdy$，故
$${\iint }_D(1+x-y)dxdy={\iint }_{D}1dxdy+{\iint }_{D}xdxdy-{\iint }_{D}ydxdy={\iint }_{D}1dxdy,$$
即所求积分等于区域 $D$ 的面积。

用极坐标计算面积。 曲线 $xy=\frac{1}{3}$ 化为 $r^2\cos \theta \sin \theta =\frac{1}{3}$，即 $r=\sqrt{\frac{2}{3\sin 2\theta }}$；$xy=3$ 化为 $r=\sqrt{\frac{6}{\sin 2\theta }}$。直线 $y=\frac{1}{3}x$ 为 $\theta =\arctan \frac{1}{3}$，$y=3x$ 为 $\theta =\arctan 3$。于是
$${\iint }_{D}1dxdy={\int }_{\arctan \frac{1}{3}}^{\arctan 3}d\theta {\int }_{\sqrt{\frac{2}{3\sin 2\theta }}}^{\sqrt{\frac{6}{\sin 2\theta }}}rdr=\frac{1}{2}{\int }_{\arctan \frac{1}{3}}^{\arctan 3}\left(\frac{6}{\sin 2\theta }-\frac{2}{3\sin 2\theta }\right)d\theta =\frac{8}{3}{\int }_{\arctan \frac{1}{3}}^{\arctan 3}\csc 2\theta d\theta .$$

由于 $\csc 2\theta -\cot 2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{\sin 2\theta }=\tan \theta$，故 $\int \csc 2\theta d\theta =\frac{1}{2}\ln |\tan \theta |$。因此
$${\iint }_{D}1dxdy=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{2}\ln |\tan \theta |{|}_{\arctan \frac{1}{3}}^{\arctan 3}=\frac{4}{3}\left(\ln 3-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot 2\ln 3=\frac{8}{3}\ln 3.$$

所以 ${\iint }_D(1+x-y)dxdy=\frac{8}{3}\ln 3$。