2024 年考研数学（二） 第 18 题

$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$ 是欧拉方程，标准换元 $x=e^t$ 能把变系数化成常系数——题目已直接提示。换元后特征根 $\pm 3$ 给出 $x^{\pm 3}$，用初值发现 $C_2=0$，解异常简洁 $y=2x^3$。第（Ⅱ）问是 $x^{\text{奇数}}\sqrt{4-x^2}$ 型积分，看到「奇次幂配根号」立即想到令 $t=4-x^2$ 凑 $2xdx=-dt$，比三角换元更快。

本题综合考查（欧拉方程的）变量代换求解与定积分计算。

（Ⅰ） 令 $x=e^t$，即 $t=\ln x$。由链式法则
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{x},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right).$$
代入原方程 $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$ 得
$$\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right)+\frac{dy}{dt}-9y=0,\text{即}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-9y=0.$$

这是二阶常系数齐次线性方程，特征方程 $r^2-9=0$，特征根 $r=\pm 3$，通解 $y=C_1{e}^{3t}+C_2{e}^{-3t}$。代回 $x=e^t$ 得 $y=C_1{x}^3+C_2{x}^{-3}$，从而 $y^{\prime }(x)=3C_1{x}^2-3C_2{x}^{-4}$。

由 $y(1)=2,y^{\prime }(1)=6$：
$$\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2=2\\ 3C_1-3C_2=6\end{array}\Rightarrow C_1=2,C_2=0.$$
故 $y(x)=2x^3$。

（Ⅱ） 由（Ⅰ）$y(x)=2x^3$，所求积分为 ${\int }_1^{2}2x^3\sqrt{4-x^2}dx$。令 $t=4-x^2$，则 $2xdx=-dt$，$x^2=4-t$；$x:1\to 2$ 对应 $t:3\to 0$。于是
$${\int }_1^{2}2x^3\sqrt{4-x^2}dx={\int }_1^2{x}^2\sqrt{4-x^2}\cdot 2xdx={\int }_0^3(4-t)\sqrt{t}dt.$$

计算：
$${\int }_0^3\left(4t^{1/2}-t^{3/2}\right)dt=\left(\frac{8}{3}{t}^{3/2}-\frac{2}{5}{t}^{5/2}\right){|}_0^3=\frac{8}{3}\cdot 3\sqrt{3}-\frac{2}{5}\cdot 9\sqrt{3}=8\sqrt{3}-\frac{18\sqrt{3}}{5}=\frac{22\sqrt{3}}{5}.$$
所以 ${\int }_1^{2}y(x)\sqrt{4-x^2}dx=\frac{22\sqrt{3}}{5}$。