2024 年考研数学（二） 第 19 题

旋转体体积 $\pi \int y^{2}dx$ 里平方把 $\sqrt{x}{e}^{-x}$ 变成干净的 $x{e}^{-2x}$，这是本题能算下去的关键。$V(t)$ 是上下限均动的变限积分，求导用 $f(2t)\cdot (2t{)}^{\prime }-f(t)\cdot (t{)}^{\prime }$，提出公因子后零点由 $e^{2t}=4$ 给出 $t=\ln 2$。最后回代时 $x=\ln 2,2\ln 2$ 让 $e^{-2x}$ 变成 $\frac{1}{4},\frac{1}{16}$ 这类 $2$ 的幂，数值整齐。

本题综合考查旋转体体积（定积分几何应用）、变限积分求导与函数最值。

由旋转体体积公式
$$V(t)=\pi {\int }_t^{2t}{\left(\sqrt{x}{e}^{-x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_t^{2t}x{e}^{-2x}dx.$$

对变限积分求导（上、下限都含 $t$）：
$$V^{\prime }(t)=\pi [(2t)e^{-2(2t)}\cdot 2-t{e}^{-2t}]=\pi \left(4t{e}^{-4t}-t{e}^{-2t}\right)=\pi t{e}^{-4t}\left(4-e^{2t}\right).$$

令 $V^{\prime }(t)=0$，由 $t>0$ 得 $4-e^{2t}=0$，即 $t=\ln 2$。当 $0<t<\ln 2$ 时 $V^{\prime }(t)>0$，$V$ 单调增；当 $t>\ln 2$ 时 $V^{\prime }(t)<0$，$V$ 单调减。故 $V(t)$ 在 $t=\ln 2$ 处取得最大值。

计算 $V(\ln 2)$。用 $\int x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{4}(2x+1)e^{-2x}$：
$$V(\ln 2)=\pi {\left[-\frac{1}{4}(2x+1)e^{-2x}\right]}_{\ln 2}^{2\ln 2}.$$
在 $x=2\ln 2$：$e^{-2x}=2^{-4}=\frac{1}{16}$；在 $x=\ln 2$：$e^{-2x}=2^{-2}=\frac{1}{4}$。于是
$$V(\ln 2)=\pi \left[-\frac{4\ln 2+1}{64}+\frac{2\ln 2+1}{16}\right]=\pi \cdot \frac{-(4\ln 2+1)+4(2\ln 2+1)}{64}=\frac{\pi }{64}(4\ln 2+3).$$

因此 $V(t)$ 的最大值为 $V(\ln 2)=\frac{\pi }{64}(4\ln 2+3)$。