2024 年考研数学（二） 第 20 题

「$g=f(\text{线性组合})$ 满足某个二阶偏导方程，反求 $f$」的套路：先按链式法则把 $g$ 的二阶偏导用 $f_{uu},f_{uv},f_{vv}$ 表示，代入后系数常常设计成让 $f_{uu},f_{vv}$ 抵消、只留 $f_{uv}$。得到 $f_{uv}$ 后，逐次积分还原 $f$——每积一次冒出一个「另一变量的函数」当积分常数，正好用题给的边界条件 $f_u(u,0)$、$f(0,v)$ 依次定出。

本题综合考查多元复合函数求偏导（链式法则）与由偏导反求原函数。 记 $u=2x+y,v=3x-y$，则 $u_x=2,u_y=1,v_x=3,v_y=-1$，且 $f_{uv}=f_{vu}$。

（Ⅰ） 一阶偏导：$g_x=2f_u+3f_v,g_y=f_u-f_v$。二阶偏导：
$$g_{xx}=4f_{uu}+12f_{uv}+9f_{vv},$$
$$g_{xy}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv},$$
$$g_{yy}=f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}.$$

代入 $g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$：
$$(4+2-6)f_{uu}+(12+1+12)f_{uv}+(9-3-6)f_{vv}=25f_{uv}=1,$$
故 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=\frac{1}{25}$。

（Ⅱ） 对 $f_{uv}=\frac{1}{25}$ 关于 $v$ 积分：
$$\frac{\partial f}{\partial u}=\int \frac{1}{25}dv=\frac{v}{25}+C_1(u).$$
由 $\frac{\partial f(u,0)}{\partial u}=u{e}^{-u}$，令 $v=0$ 得 $C_1(u)=u{e}^{-u}$，故 $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{v}{25}+u{e}^{-u}$。

再对 $u$ 积分（$\int u{e}^{-u}du=-u{e}^{-u}-e^{-u}$）：
$$f(u,v)=\int \left(\frac{v}{25}+u{e}^{-u}\right)du=\frac{uv}{25}-u{e}^{-u}-e^{-u}+C_2(v).$$
由 $f(0,v)=\frac{v^2}{50}-1$，令 $u=0$ 得 $-1+C_2(v)=\frac{v^2}{50}-1$，即 $C_2(v)=\frac{v^2}{50}$。

因此
$$f(u,v)=\frac{uv}{25}+\frac{v^2}{50}-(u+1)e^{-u}.$$