2024 年考研数学（二） 第 7 题

三条里只有②是审敛法的「标准正向」用法，必对。①的陷阱：平方后衰减更快，$f^2$ 收敛不代表 $f$ 收敛（$\frac{1}{x}$ 就是分水岭）。③的陷阱是「反向」：积分收敛并不要求 $f$ 有 $x^{-p}$ 量级的整齐衰减，$\frac{1}{x{\ln }^{2}x}$ 这种「比任何幂都慢一点」的例子既收敛又让 $x^{p}f\to \infty$。凡「由收敛反推衰减阶」的命题，多半可用对数型反例击破。

本题考查无穷限反常积分的敛散性。 用到极限审敛法：设 $f(x)\ge 0$ 且 ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{p}f(x)=A$。若 $0\le A<+\infty$ 且 $p>1$，则 ${\int }_a^{+\infty }fdx$ 收敛；若 $0<A\le +\infty$ 且 $p\le 1$，则发散。

命题①（假）。 取 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，非负连续。${\int }_0^{+\infty }{f}^{2}dx={\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x{)}^2}=1$ 收敛，但 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x}=\ln (1+x){|}_0^{+\infty }=+\infty$ 发散。故①不成立。

命题②（真）。 若存在 $p>1$ 使 ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{p}f(x)$ 存在（有限），由上述极限审敛法即得 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。故②成立。

命题③（假）。 取 $f(x)=\frac{1}{(x+2){\ln }^2(x+2)}$，非负连续，且
$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(x+2){\ln }^2(x+2)}=-\frac{1}{\ln (x+2)}{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{\ln 2}$$
收敛。但对任意 $p>1$，$x^{p}f(x)=\frac{x^p}{(x+2){\ln }^2(x+2)}\to +\infty$（分子多项式增长快于分母的 ${\ln }^2$），极限不存在（为 $+\infty$）。故③不成立。

综上，真命题只有②，共 $1$ 个。故应选 B。