2024 年考研数学（二） 第 6 题

交换积分次序的通法：先还原区域再重新描述边界。这里 $x\in [\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 恰落在 $\arcsin$ 的值域 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 内，所以边界曲线 $y=\sin x$ 能干净地反解成 $x=\arcsin y$，不会有多值歧义。$y$ 的下限由 $\sin x$ 的最小值 $\frac{1}{2}$ 决定；对每个 $y$，$x$ 从左边界 $\frac{\pi }{6}$ 到曲线 $\arcsin y$。

本题考查二次积分的积分次序交换。 先由原积分限画出（写出）积分区域，再改写为先对 $x$ 后对 $y$ 的次序。

原积分对应的区域为
$$D=\left\{(x,y)|\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{2},\sin x\le y\le 1\right\}.$$
在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $\sin x$ 单调增，取值从 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 到 $\sin \frac{\pi }{2}=1$。

交换次序：$y$ 的范围为 $\frac{1}{2}\le y\le 1$。对固定的 $y$，条件 $\sin x\le y$ 且 $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{2}$。由于 $\arcsin y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，在此区间上 $\sin x$ 单调增，$\sin x\le y⟺x\le \arcsin y$，故 $\frac{\pi }{6}\le x\le \arcsin y$。因此
$$D=\left\{(x,y)|\frac{\pi }{6}\le x\le \arcsin y,\frac{1}{2}\le y\le 1\right\}.$$

于是
$${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)dy={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}dy{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)dx.$$
故应选 A。