2024 年考研数学（二） 第 5 题

「$(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy}$」这种「小量乘有界震荡」的结构是可微的强信号：$\frac{f}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{x^2+y^2}\to 0$，直接可微。但求偏导会多出 $\cos \frac{1}{xy}$ 前的分母 $x^{2}y$，沿特殊路径（让 $\sin =0,\cos =1$）系数发散，偏导就不连续了。所以本题答案是「偏导不连续、却可微」——提醒：偏导连续只是可微的充分条件，不能反推。

本题考查偏导数连续性与可微性的判定。 偏导连续是可微的充分而非必要条件，本题正是「偏导不连续但仍可微」的经典例子。

先求 $(0,0)$ 处的偏导。 当 $y=0$ 时 $f(x,0)\equiv 0$，由定义 $f_x(0,0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-0}{\Delta x}=0$；同理 $f_y(0,0)=0$。

再看 $f_x$ 在 $(0,0)$ 是否连续。 当 $xy\ne 0$ 时
$$f_x=2x\sin \frac{1}{xy}-\frac{x^2+y^2}{x^{2}y}\cos \frac{1}{xy}.$$
取 $x_n=y_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi }}\to 0$，则 $\sin \frac{1}{x_n{y}_n}=\sin (2n\pi )=0$，$\cos \frac{1}{x_n{y}_n}=1$，而 $\frac{x_n^2+y_n^2}{x_n^2{y}_n}=2\sqrt{2n\pi }\to +\infty$，故 $f_x(x_n,y_n)\to -\infty$，极限不存在。所以 $f_x$ 在 $(0,0)$ 不连续。

最后看可微性。 因 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，考察
$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$
当 $xy\ne 0$ 时 $\left|\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|=\left|\sqrt{x^2+y^2}\sin \frac{1}{xy}\right|\le \sqrt{x^2+y^2}\to 0$；当 $xy=0$ 时该式为 $0$。由夹逼准则极限为 $0$，故 $f$ 在 $(0,0)$ 可微。

综上，$f_x$ 不连续但 $f$ 可微，应选 C。