2024 年考研数学（二） 第 4 题

由「已知数列敛散、问复合后数列敛散」这类题，抓住一句话：连续可逆变换保持敛散性。$e^x-e^{-x}$ 严格单调（导数恒正），是双射且反函数连续，所以它作用后仍发散——D。反观 A、B、C，$a_n+\frac{1}{a_n}$、$a_n-\frac{1}{a_n}$、$e^{a_n}+e^{-a_n}$ 都不是单调（有偶性或对称抵消），能让一个发散的 $\{a_n\}$ 复合后变常数，故都能举反例。

本题考查数列敛散性的判定。 核心工具：若 $f$ 是连续的严格单调函数（从而有连续反函数），则 $\{f(a_n)\}$ 收敛可推出 $\{a_n\}$ 收敛。

考虑 $f(x)=e^x-\frac{1}{e^x}=e^x-e^{-x}$，则 $f^{\prime }(x)=e^x+e^{-x}>0$，故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调增，存在连续的反函数 $f^{-1}$。若 $\{f(a_n)\}=\left\{e^{a_n}-\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 收敛于 $b$，则 $a_n=f^{-1}(f(a_n))\to f^{-1}(b)$ 收敛，与 $\{a_n\}$ 发散矛盾。故 $\left\{e^{a_n}-\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 必发散，D 正确。

其余选项均可举反例否定：

对 A，取 $a_n=\{\begin{array}{ll}2,& n\text{ 为奇数}\\ \frac{1}{2},& n\text{ 为偶数}\end{array}$，则 $\{a_n\}$ 发散，但 $a_n+\frac{1}{a_n}\equiv 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ 收敛。

对 B、C，取 $a_n=(-1{)}^n$，则 $\{a_n\}$ 发散，但 $a_n-\frac{1}{a_n}\equiv 0$、$e^{a_n}+\frac{1}{e^{a_n}}\equiv e+\frac{1}{e}$ 均收敛。

综上，应选 D。