2024 年考研数学（二） 第 3 题

遇到「变限积分套变限积分」判奇偶，逐层用两条口诀：奇函数从 $0$ 积得偶、偶函数从 $0$ 积得奇。$\sin t^3$ 是奇 → $h$ 偶；$f=h(\sin x)$ 里 $\sin$ 是奇但外面套了偶函数 $h$，负号被吃掉，$f$ 偶；再对偶函数 $f$ 从 $0$ 积一次得奇函数 $g$。层层递推即可，不必真正算出积分。

本题考查变限积分与函数的奇偶性。 关键结论：连续奇函数的原函数（取自 $0$ 的变限积分）是偶函数；连续偶函数的、自 $0$ 起的变限积分是奇函数。

记 $h(u)={\int }_0^u\sin t^{3}dt$。因为被积函数 $\sin t^3$ 是奇函数，故 $h(u)$ 是偶函数。而 $f(x)=h(\sin x)$，于是
$$f(-x)=h(\sin (-x))=h(-\sin x)=h(\sin x)=f(x),$$
所以 $f(x)$ 是偶函数。

又 $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 是偶函数 $f$ 的、从 $0$ 起的变限积分，且 $g(0)=0$，故 $g(x)$ 是奇函数。

（直接验证：$g(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt\stackrel{u=-t}{\to }-{\int }_0^{x}f(-u)du=-{\int }_0^{x}f(u)du=-g(x)$。）

因此 $f(x)$ 是偶函数、$g(x)$ 是奇函数。故应选 D。