2024 年考研数学（二） 第 2 题

看到 $x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]$ 且 $x\to +\infty$，第一反应是「导数定义」：把 $\frac{2}{x}$ 当增量 $\Delta x\to 0$，系数 $x=\frac{2}{\Delta x}$，整体就是 $2f^{\prime }(2)$。识别出这一步后，剩下只是常规的参数方程求导，注意先由 $x=2$ 反解出 $t=1$ 再代入。

本题考查导数的定义与参数方程求导。 先用导数定义把极限化为 $f^{\prime }(2)$ 的倍数，再用参数方程求 $f^{\prime }(2)$。

注意 $\frac{2}{x}\to 0$，由导数定义
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left[f(2+\frac{2}{x})-f(2)\right]=2\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(2+\frac{2}{x})-f(2)}{\frac{2}{x}}=2f^{\prime }(2).$$

由参数方程求导公式：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t{e}^{t^2}}{3t^2}=\frac{2e^{t^2}}{3t}.$$
由 $x=2$ 得 $1+t^3=2$，即 $t=1$，故 $f^{\prime }(2)=\frac{2e^1}{3\cdot 1}=\frac{2e}{3}$。

因此原极限 $=2f^{\prime }(2)=2\cdot \frac{2e}{3}=\frac{4e}{3}$。故应选 B。