2024 年考研数学（二） 第 1 题

幂指函数判断间断点，第一步永远是化为 $e^{(\text{指数})}$，把问题转成指数的极限。三个疑似间断点里，$x=0$ 和 $x=2$ 都让指数跑向无穷（第二类），唯有 $x=1$ 处分子 $\ln x\to 0$ 恰好压制住分母的 $1-x\to 0$，极限是有限值 $e$，成为可去（第一类）间断点。关键信号：谁能把 $\frac{0}{0}$ 化成有限数，谁就是第一类。

本题考查间断点及其类型的判定。 先找出所有间断点，再计算各点的左、右极限判断类型。第一类间断点指左、右极限都存在（含可去间断点与跳跃间断点）的点。

由表达式可知 $f(x)$ 在 $x=0,x=1,x=2$ 处无定义（这三点是间断点）。改写为指数形式 $f(x)=e^{\frac{\ln |x|}{(1-x)(x-2)}}$，只需考察指数 $g(x)=\frac{\ln |x|}{(1-x)(x-2)}$ 的极限。

在 $x=0$ 处：$\ln |x|\to -\infty$，$(1-x)(x-2)\to (1)(-2)=-2$，故 $g(x)\to +\infty$，$f(x)\to +\infty$。左右均为 $+\infty$，是无穷（第二类）间断点。

在 $x=1$ 处：$\frac{\ln x}{1-x}\stackrel{\text{洛必达}}{\to }\frac{1/x}{-1}\to -1$，而 $\frac{1}{x-2}\to -1$，故 $g(x)\to (-1)(-1)=1$，从而 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=e$。左、右极限都存在且相等（但 $f(1)$ 无定义），是可去间断点，属第一类。

在 $x=2$ 处：$g(x)=\frac{\ln x}{(1-x)(x-2)}$，其中 $\ln 2\ne 0$，$1-x\to -1$。当 $x\to 2^{-}$ 时 $x-2\to 0^{-}$，$g\to +\infty$，$f\to +\infty$；当 $x\to 2^{+}$ 时 $x-2\to 0^{+}$，$g\to -\infty$，$f\to 0$。左右极限不同且有一侧为无穷，是第二类间断点。

因此，只有 $x=1$ 是第一类间断点，共 $1$ 个。故应选 C。