2023 年考研数学（二） 第 17 题

这是「几何条件 → 微分方程」的典型题。第一问的关键是把文字条件精确翻译：切线在 $y$ 轴的截距就是切线方程令 $X=0$ 的 $Y=y-x{y}^{\prime }$，点到 $y$ 轴距离就是 $|x|$，相等即得可解的一阶线性方程。第二问是常规的「切线围三角形面积最值」——先用截距公式把面积表示成单变量 $S(x)=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}$，再求导。注意定义域 $x>\mathrm{e}$ 保证 $\ln x-1>0$、面积为正。

本题综合考查一阶线性微分方程（几何应用）与一元函数最值。 第（Ⅰ）问把几何条件翻译成微分方程；第（Ⅱ）问把三角形面积写成 $x$ 的函数求最小值。

（Ⅰ） 点 $P(x,y)$ 处切线方程为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$。令 $X=0$ 得切线在 $y$ 轴上的截距 $Y=y-x{y}^{\prime }$。又 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $|x|=x$（因 $x>\mathrm{e}>0$）。由题设「距离 = 截距」：
$$x=y-x{y}^{\prime }⟹y^{\prime }-\frac{y}{x}=-1.$$

这是一阶线性方程，积分因子 ${\mathrm{e}}^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$，故 ${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x}$，积分得 $\frac{y}{x}=-\ln x+C$，即 $y=x(C-\ln x)$。代入初值 $({\mathrm{e}}^2,0)$：$0={\mathrm{e}}^2(C-2)$，得 $C=2$。因此
$$y(x)=x(2-\ln x),x>\mathrm{e}.$$

（Ⅱ） 点 $(x,y)$ 处切线与两坐标轴围成直角三角形，记其在 $x,y$ 轴上的截距为 $x_0,y_0$，则面积 $S=\frac{1}{2}|x_0||y_0|$。由切线 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$：$y_0=y-x{y}^{\prime }$，令 $Y=0$ 得 $x_0=x-\frac{y}{y^{\prime }}$。

由（Ⅰ），$y=x(2-\ln x)$，$y^{\prime }=(2-\ln x)+x\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)=1-\ln x$。于是
$$|y_0|=|x(2-\ln x)-x(1-\ln x)|=x,|x_0|=\left|x-\frac{x(2-\ln x)}{1-\ln x}\right|=\frac{x}{\ln x-1}(x>\mathrm{e}),$$
故 $S(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{\ln x-1}\cdot x=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}$。

求最小值。
$$S^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x(\ln x-1)-x^2\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x-1{)}^2}=\frac{x\left(\ln x-\frac{3}{2}\right)}{(\ln x-1{)}^2}.$$
在 $x>\mathrm{e}$ 上，$S^{\prime }(x)=0\iff \ln x=\frac{3}{2}\iff x={\mathrm{e}}^{3/2}$；且 $\mathrm{e}<x<{\mathrm{e}}^{3/2}$ 时 $S^{\prime }<0$、$x>{\mathrm{e}}^{3/2}$ 时 $S^{\prime }>0$，故 $x={\mathrm{e}}^{3/2}$ 是最小值点。

此时 $y={\mathrm{e}}^{3/2}\left(2-\frac{3}{2}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{3/2}}{2}$，最小面积
$$S\left({\mathrm{e}}^{3/2}\right)=\frac{{\left({\mathrm{e}}^{3/2}\right)}^2}{2\left(\frac{3}{2}-1\right)}=\frac{{\mathrm{e}}^3}{2\cdot \frac{1}{2}}={\mathrm{e}}^3.$$
即在点 $\left({\mathrm{e}}^{3/2},\frac{{\mathrm{e}}^{3/2}}{2}\right)$ 处切线围成的三角形面积最小，最小面积为 ${\mathrm{e}}^3$。