2023 年考研数学（二） 第 16 题

看到「$4$ 个方程 $3$ 个未知量且有解」，立刻联想到超定方程组有解的代价：秩最多 $3$，因此 $4$ 阶增广行列式必为 $0$。这一个「$=0$」就是解题引擎。接着把这个 $4$ 阶零行列式沿含右端常数的那一列展开，展开式里恰好同时冒出题给的已知 $3$ 阶行列式和待求的 $3$ 阶行列式，一个线性关系就把答案锁定。这是把「方程组有解」转化为「行列式为零再展开」的经典套路。

本题考查非齐次线性方程组有解的条件与行列式（按列展开）。 该方程组系数矩阵 $A$ 为 $4\times 3$ 矩阵，有解 $\iff r(A)=r(A,\mathbf{b})$。

增广矩阵 $(A,\mathbf{b})=\left(\begin{array}{cccc}a& 0& 1& 1\\ 1& a& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ a& b& 0& 2\end{array}\right)$ 是 $4$ 阶方阵。由 $A$ 只有 $3$ 列知 $r(A)⩽3$，故有解时 $r(A)=r(A,\mathbf{b})⩽3<4$，从而 $|A,\mathbf{b}|=0$。

把 $4$ 阶行列式 $|A,\mathbf{b}|$ 按第四列 $(1,0,0,2{)}^{\mathrm{T}}$ 展开：
$$0=|A,\mathbf{b}|=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|\text{（对应余子式带号）}+2\cdot \left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|.$$

按代数余子式的符号规整后可得 $0=-\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|$。代入已知 $\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=4$，得
$$\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=2\times 4=8.$$